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定義 | 7-limit subgroups | 11-limit subgroups | 13-limit subgroups

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定義

純正律「サブグループ」は、任意の乗算と除算によって求められた、有限な有理数のセットによって生成されるグループ（group）を意味する。どんなグループも、サブグループの素数リミットをpとすると、その最小値のためのp-リミットグループに含まれる。


注意深く純正律サブグループを検討するのは、議題のグループが、完全なp-リミットグループではないときだけである。そのようなサブグループは、有限なインデックス（index）と無限のインデックスの2つで、直感的に話される。そのインデックスは、完全なp-リミットグループの中で、サブグループの関連あるサイズを計算する。たとえば、4と3、2と9、4と6で生成されたサブグループは、完全なピタゴラスの3リミットの中でインデックス2を持つ。3リミットが作る音程の半分は、それらのどれか1つに所属し、そして半分は所属せず、そしてすべての3つのグループは異なっている。一方、2と3と7で生成されたグループは、2と3と5と7で生成される完全な7リミットグループの無限インデックスを作る。そのインデックスは、マトリックスの決定要因から計算される。マトリックスはジェネレーターのモンゾの列を持つ。

純正律サブグループに使用するネーミングシステムの原則は、標準音程リストをグループのジェネレーターに適用することである。それはまた、リストにおけるジェネレーターの数によるグループのランクを与える。下により興味深いサブグループシステムを示す。もしシステムによって音階が与えられるなら、それは音階の音で生成されたサブグループを示す。純正律サブグループはジェネレーターの間のドッツのリスト化によって述べられる。ドッツを使うことの目的は、サブグループを参照するという事実のフラグ化である。このネーミングの慣習は以下に従事する。

7-limit subgroups

2.3.7
これは次のような意味である。7リミット純正律のサブグループの1つである2.3.7は、2と3と7で作られる周波数比を示す。たとえば7:6や14:9、8:7などである。これらは5:4や13:11を含まない。そしてこれが発生する平均律は、5、31、36、135、571平均律である。

Ets: 5, 31, 36, 135, 571

アーチタス・ダイアトニック（Archytas Diatonic）[8/7, 32/27, 4/3, 3/2, 12/7, 16/9, 2/1]
サフィ・アルディン・セプティマル（Safi al-Din Septimal）[8/7, 9/7, 4/3, 32/21, 12/7, 16/9, 2/1]

2.5.7
Ets: 6, 25, 31, 171, 239, 379, 410, 789

2.3.7/5
Ets: 10, 29, 31, 41, 70, 171, 241, 412

2.5/3.7
Ets: 12, 15, 42, 57, 270, 327

2.5.7/3
Ets: 9, 31, 40, 50, 81, 90, 171, 261

2.5/3.7/3
Ets: 27, 68, 72, 99, 171, 517

2.27/25.7/3
Ets: 9

事実上、9平均律と同等で、[27/25, 7/6, 63/50, 49/36, 72/49, 100/63, 12/7, 50/27, 2]によって与えられる7リミットバージョンを持つ。

2.9/5.9/7
Ets: 6, 21, 27, 33, 105, 138, 171, 1848, 2019, 2190, 2361, 2532, 2703, 2874, 3045, 3216, 3387, 3558

テレイン・テンペラメント（Terrain temperament ）・サブグループ

11-limit subgroups

2.3.11
Ets: 7, 15, 17, 24, 159, 494, 518, 653

Zalzal, al-Farabi's version [9/8, 27/22, 4/3, 3/2, 18/11, 16/9, 2/1]

2.5.11
Ets: 6, 7, 9, 13, 15, 22, 37, 87, 320

2.7.11
Ets: 6, 9, 11, 20, 26, 135, 161, 296

2.3.5.11
Ets: 7, 15, 22, 31, 65, 72, 87, 270, 342, 407, 494

2.3.7.11
Ets: 9, 17, 26, 31, 41, 46, 63, 72, 135

ラドン・テンペラメント（Radon temperament）サブグループ。プトレマイオスが奮闘したクロマティック（Ptolemy Intense Chromatic）[22/21, 8/7, 4/3, 3/2, 11/7, 12/7, 2/1]から生成される。

See: Gallery of 2.3.7.11 Subgroup Scales

2.5.7.11
Ets: 6, 15, 31, 35, 37, 109, 618, 960

2.5/3.7/3.11/3
Ets: 33, 41, 49, 57, 106, 204, 253

インジウム・テンペラメント（Indium temperament）サブグループ

13-limit subgroups

2.3.13
Ets: 7, 10, 17, 60, 70, 130, 147, 277, 424

Mustaqim mode, Ibn Sina [9/8, 39/32, 4/3, 3/2, 13/8, 16/9, 2/1]

2.3.5.13
Ets: 15, 19, 34, 53, 87, 130, 140, 246, 270

The Cata, Trinidad and Parizekmic temperaments subgroup.

2.3.7.13
Ets: 10, 26, 27, 36, 77, 94, 104, 130, 234

Buzurg [14/13, 16/13, 4/3, 56/39, 3/2]

Safi al-Din tuning [8/7, 16/13, 4/3, 32/21, 64/39, 16/9, 2/1]

Ibn Sina tuning [14/13, 7/6, 4/3, 3/2, 21/13, 7/4, 2]

2.5.7.13
Ets: 7, 10, 17, 27, 37, 84, 121, 400

The Huntington temperament subgroup.

2.5.7.11.13
Ets: 6, 7, 13, 19, 25, 31, 37

The Roulette temperament subgroup

2.3.13/5
Ets: 5, 9, 14, 19, 24, 29, 53, 82, 111, 140, 251, 362

The Barbados temperament subgroup.

2.3.11/5.13/5
5, 9, 14, 19, 24, 29

The Bridgetown temperament subgroup.

2.3.11/7.13/7
Ets: 5, 7, 12, 17, 29, 46, 75, 196, 271

The Pepperoni temperament subgroup.

2.7/5.11/5.13/5
Ets: 5, 8, 21, 29, 37, 66, 169, 235

The Tridec temperament subgroup.